medidas de dispersao

• MEDIDAS DE DISPERSÃO

Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.

• Variância 

Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.
   

• Desvio-padrão 

Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.
   

Exemplo

Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates.

Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0

Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0

Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0 
Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores.
Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise.

Variância e Desvio Padrão

A variância é calculada subtraindo o valor observado do valor médio. Essa diferença é quanto um valor observado se distância do valor médio. Observe os cálculos:

Competidor A



Competidor B



Competidor C




Desvio Padrão

É calculado extraindo a raiz quadrada da variância.

Competidor A
√2,667 = 1,633

Competidor B
√ 0,667 = 0,817

Competidor C
√2 = 1,414

Podemos notar que o competidor B possui uma melhor regularidade nas notas.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Exercício 1 

Conhecem-se as seguintes idades (em anos) de todos os 6 gorilas do zoo da cidade:

9,1,16,11,10,14

Qual é a média de idades dos gorilas do zoo? Qual é a variância?

Resolução

Porque temos os dados das idades de todos os 6 gorilas do zoo, somos capazes de calcular a
média da população (μ)e a variância da população (σ2).

Para encontrar a média da população, somam-se todas as 6 idades e divide-se por 6.

μ=∑i=1NxiN=∑i=16xi6

μ=9+1+16+11+10+146=10.2 anos de idade

Encontrar os quadrados dos desvios de cada gorila

Idade xi	Desvio (xi−μ)	(xi−μ)2
9 anos	−1.2 anos	1.44 anos2
1 ano	−9.2 anos	84.64 anos2
16 anos	5.8 anos	33.64 anos2
11 anos	0.8 anos	0.64 anos2
10 anos	−0.2 anos	0.04 anos2
14 anos	3.8 anos	14.44 anos2

Porque usamos a média da população (μ)para calcular os quadrados do desvios, podemos encontrar avariância (σ2), sem introduzir qualquer enviesamento, simplesmente calculado a média dos quadrados dos desvios:

σ2=∑i=1N(xi−μ)2N

σ2=1.44+84.64+33.64+0.64+0.04+14.446

σ2=134.846=22.47 anos2

Cada gorila tem em média 10.2 anos, e a variância da população é de 22.47 anos2.

estatistica e probabilidade

      Estatística e probabilidade

A estatística também é usada para  estimar a probabilidade do ocorrência de um evento, principalmente quando ela não pode ser calculado teoricamente pela razão.          p= evente

                                                                                                                       espaço amostral

Observe o gráfico:

A partir deste gráfico observamos o quanto que cada um dos candidatos recebeu de intenção de voto em cinco pesquisas realizadas.

A partir desses dados é possivel saber quem será o vencedor? É possível saber se terá segundo turno? 

A resposta dessas perguntas seria não, porém é possível chegar a um resultado cada vez mais próximo com a realidade que acontecerá nas urnas se alguns fatores como quantidade e diversificação dos entrevistados forem levados em consideração. A partir disso é possível responder tais perguntas calculando a Probabilidade de um determinado candidato ganhar as eleições.

A teoria das Probabilidades é uma área da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fênomenos aleatórios.

ESPAÇO AMOSTRAL (Ω)

É um conjunto formado por todos os resultados possíveis em um determinado experimento.

Exemplos:

1) No lançamento de um dado tradicional.

Ω= {1,2,3,4,5,6) = 6 casos possíveis

2) No lançamento de uma moeda.

Ω= {Cara,  Coroa) = 2 casos possíveis

3) Na escolha de uma carta do baralho.

Ω= {52 cartas) = 52 casos possíveis

EVENTO (e)

É um subconjunto do espaço amostral. É o total de casos favóraveis para realização ou acontecimento de determinado fato.

Exemplos:

1) Sair um número primo em um dado tradicional.

Ω= {2,3,5) = 3 casos Favoráveis

*Vale lembrar que o número 1 não é primo.

2) Sair Coroa no lançamento de uma moeda.

Ω= {Coroa) = 1 caso Favorável

3) Sair um ÁS na escolha de uma carta do baralho.

Ω= {ÁS de ouros, ÁS de copas, ÁS de paus, ÁS de espadas) = 4 casos Favoráveis

Defini-se Probabilidade como o quociente da divisão entro o evento e o espaço amostral.

                                                                                                                                  

Exercício 1

  ENEM 2012 - Questão 138 – Prova Amarela.

Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Uma jogada consiste em:

1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2;

2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão;

3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2;

4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

a) Azul. b) Amarela. c) Branca. d) Verde. e) Vermelha

RESOLUÇÃO: Veja o vídeo. 

              

Exercício 2

ENEM 2011 - Questão 163 – Prova Azul.

Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é

A) 1/5

B) 1/4

C) 2/5

D) 3/5

E) 3/4

RESOLUÇÃO:

Rafael mora no centro e pode escolher um total de 4 outros lugares para morar. Observe no gráfico que destes 4 lugares apenas 3 possuem temperaturas inferiores a 31º C.

3 lugares favoráveis em 4 lugares possíveis.

Portanto, gabarito é letra E

Distância entre dois pontos

Distância entre dois pontos

A base da geometria analítica encontra-se na distância entre dois pontos, pois muitos conceitos são inerentes a esse. Portanto, compreender a expressão algébrica para o cálculo da distância entre dois pontos colabora para uma compreensão fidedigna de outros conceitos da geometria analítica.

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

representação:

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:

Geometricamente:

Exercícios feitos em sala..

 EXERCÍCIO 

Em uma garrafa opaca fechada existem 20 bolinhas, distribuídas entre três cores: Preta, vermelha e amarela. Não é possível ver as bolinhas dentro da garrafa de ponta-cabeça. quando uma das bolinhas vai para o gargalo e é possível ver sua cor. Ao longe de vários dias, repetiu-se 2000 vezes a seguinte operação: chocalhava-se e tombava-se a garrafa para então anotar a cor da bolinha que aparecia no gargalo. Os resultados obtidos foram os seguintes:

                                            cor da bolinha              numero de vezes                     FR

                                      preta                                396                               396/2000= 0.198

                                       vermelha                         910                              910/2000= 0.455

                                       amarela                           694                             694/2000= 0.347

                                         total                                2000                           2000/2000= 1



Qual deve ser a quantidade de cada bolinha dentro da garrafa?

Solução:

P(preta) = P/20 onde P é o valor de bolinhas pretas , e 20 é o total de bolinhas.
P(preta) = 0,198 onde 0,198 é a frequência que as bolinhas aparecem.

P/20 = 0,198
P=0,198.20
X=3,96 (como não existem "meias bolas" e sim uma quantidade inteira de bolinhas,  e como 3,96 esta mais perto de 4 arrendondamos para 4 bolinhas )
X= 4

V( Vermelhas) =0,455
V/20= 0,455
V=0,455.20
Y=9,1 = 9

A( amarelas) =subtração do valor total com a soma da quantidade de bolinhas pretas e vermelhas

A/20= 0,347

A=0,347.20

A= 6,94

A= 7