Representaçao gráfica

- Representação gráfica

A representação gráfica fornece uma visão de conjuntos mais rápida que a observação direta dos dados numéricos. por isso os meios de comunicação com frequência oferecem a informação estatística por meio de gráficos.

Gráfico de Barras

O gráfico de barras (ou de colunas) é utilizado, em geral, para representar dados de uma tabela de frequências associadas a uma variável qualitativa. Nesse tipo de gráfico, cada barra retangular representa a freqüência ou a freqüência relativa da respectiva opção da variável.

Veja a seguir um exemplo de gráfico de barras:

Desmatamento na Amazônia cresce 3,8%

Em 28/11, o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) informou que o desmatamento na região da Amazônia, medido entre agosto de 2007 e julho de 2008, foi de 11.968 km², de acordo com o resultado do Projeto de monitoramento na Amazônia Legal (Prodes). A taxa 2007-2008 é 3,8% maior que o desmatamento medido no período anterior.

Gráfico de linhas

Gráfico de linhas

O gráfico de linhas (ou de segmentos) é utilizado, em geral, para representar a evolução dos valores de uma variável no decorrer do tempo.

Veja alguns exemplos de gráficos de linhas a seguir:

Evolução da população residente em Portugal 1861 - 2007

Disponível em: http://ticg39195.blogspot.com/2009_11_01_archive.html

Gráficos de setores

O gráfico de setores, também conhecido como “gráfico de pizza”, é utilizado, em geral, para representar partes de um todo.

Veja a seguir uma tabela e um gráfico de setores indicando os setores que produzem os gases que intensificam o efeito estufa.

Intergovernmental Panel on Climate Change. Reports. Disponível em: http://www.ipcc.ch/

moda e mediana

Moda e Mediana

 A estatística descritiva é a parte da estatística responsável por realizar essa análise, apontando tendências de comportamento das variáveis, criando gráficos e descrevendo as características dos conjuntos pesquisados. Numa pesquisa, os dados tendem a se concentrar em torno dos valores centrais. Esses valores centrais são chamados de medidas de tendência central. São elas: Média, Moda e Mediana.

Moda (Mo): é o valor que mais aparece num conjunto de dados.

 Exemplo 1. Os dados abaixo se referem à idade de 20 alunos de uma turma de 6º ano. Idade: {12, 11, 12, 13, 12, 11, 13, 12, 12, 11, 14, 13, 13, 12, 11, 12, 13, 14, 11, 14} A moda desse conjunto de dados será a idade que mais aparece, ou seja: Mo = 12 (pois é a idade que aparece mais vezes no conjunto) 

Exemplo 2. A tabela abaixo apresenta as notas em matemática de uma turma de 30 alunos. Na coluna da esquerda temos as notas na disciplina de matemática e na coluna da direita, quantos alunos obtiveram a respectiva nota. Dessa forma, podemos observar que a nota que mais aparece nesse conjunto de dados é 7. Portanto, Mo = 7. 

Exemplo 3. Os dados abaixo são referentes ao número dos calçados vendidos em uma loja num determinado dia. {35, 33, 36, 35, 37, 36, 39, 40, 42, 43, 35, 36, 42} Nesse caso, existem dois números de sapatos que aparecem mais vezes: 35 e 36. Logo, a moda pode ser: Mo = 35 ou Mo = 36 Quando isso ocorre, dizemos que o conjunto de dados é bimodal.

 Mediana (Md): é o valor (pertencente ou não ao conjunto de dados) que divide o conjunto de dados em dois subconjuntos de mesmo tamanho. De uma forma mais simples, é o valor que divide o conjunto de dados ao meio. Para determinar a mediana de um conjunto de dados é necessário, primeiro, construir o rol. O rol é a ordenação do conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente. 1. Mediana de um conjunto de dados com número de elementos ímpar. 

exemplo 1

Considere o conjunto de dados abaixo, referentes ao salário médio dos funcionários de uma empresa em reais. Salário: 1500 1300 1200 1250 1600 1100 1450 1210 1980 Observe que nesse conjunto de dados temos 9 elementos, 9 salários. Primeiro devemos montar o rol: Rol = {1100, 1200, 1210, 1250, 1300, 1450, 1500, 1600, 1980} Quando o número de elementos do conjunto de dados for ímpar, a mediana é o valor que divide o conjunto ao meio, portanto Md = 1300. Observe que à esquerda e à direita de 1300 existem 4 elementos. Mediana de um conjunto de dados com número de elementos ímpar.

exemplo 2

Considere o conjunto de dados abaixo, referente ao salário médio dos funcionários de uma empresa. Salário: 1500 1300 1200 1250 1600 1100 1450 1210 1980 1420 Rol = { 1100, 1200, 1210, 1250, 1300, 1420, 1450, 1500, 1600, 1980} Nesse conjunto existem 10 elementos. Nesse caso a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. Note que tanto à direita como à esquerda dos dois valores centrais há 4 elementos. 

A média aritmética é considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano. Surge do resultado da divisão do somatório dos números dados pela quantidade de números somados. 

Por exemplo, determinar a média dos números 3, 12, 23, 15, 2. 
Ma = (3+12+23+15+2) / 5 
Ma = 55 / 5 
Ma = 11 
A média dos números é igual a 11. 

Esse tipo de cálculo é muito utilizado em campeonatos de futebol no intuito de determinar a média de gols da rodada, nas escolas calculando a média final dos alunos, também é utilizado nas pesquisas estatísticas, pois a média dos resultados determina o direcionamento das ideias expressas pelas pessoas pesquisadas. 

• EXEMPLO 1

Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Matemática com base nas seguintes notas bimestrais: 
1ºB = 6,0 
2ºB = 9,0 
3ºB = 7,0 
4ºB = 5,0 

Ma = (6,0 + 9,0 + 7,0 + 5,0) / 4 
Ma = 27/4 
Ma = 6,75 
A média anual de Carlos foi 6,75. 

• EXEMPLO 2

O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso o seu valor diário possui variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana verificou-se as variações de acordo com a tabela informativa:

Segunda	Terça	Quarta	Quinta	Sexta
R$ 2,30	R$ 2,10	R$ 2,60	R$ 2,20	R$ 2,00

Determine o valor médio do preço do dólar nesta semana. 

Ma = (2,3 + 2,1 + 2,6 + 2,2 + 2) / 5 
Ma = 11,2 / 5 
Ma = 2,24 

O valor médio do dólar na semana apresentada foi de R$ 2,24. 

• Média aritmética ponderada

Definição

A média aritmética ponderada é a média dos elementos do conjunto numérico A em relação à adição, onde todos os elementos têm o seu determinado peso.

Calculo da média aritmética ponderada

Sendo x a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x₁, x₂, x₃; …; x_n}, com seus respectivos pesos p₁; p₂; p₃; …; p_n, nesse caso, temos, por definição: 

Note que quando p₁ = p₂ = p₃ = … = p_n = 1, nesse caso, temos:

como a média aritmética simples.

Conclusão

Para se obter a média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A, é necessário determinar a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, e dividi-la pela soma dos pesos.

Exemplo 1

Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:

1º Bimestre: 7,0
2º Bimestre: 6,0
3º Bimestre: 8,0
4º Bimestre: 7,5

 A média anual de Gabriel é correspondente a 7,3.

Exemplo 2

Buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um município, a prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível de satisfação compreendem a notas inteiras de 1 a 10. Veja os resultados na tabela a seguir:

 

A média de satisfação dos usuários do sistema de saúde do município em questão foi igual a 5,0.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

medidas de dispersao

• MEDIDAS DE DISPERSÃO

Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.

• Variância 

Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.
   

• Desvio-padrão 

Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.
   

Exemplo

Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates.

Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0

Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0

Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0 
Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores.
Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise.

Variância e Desvio Padrão

A variância é calculada subtraindo o valor observado do valor médio. Essa diferença é quanto um valor observado se distância do valor médio. Observe os cálculos:

Competidor A



Competidor B



Competidor C




Desvio Padrão

É calculado extraindo a raiz quadrada da variância.

Competidor A
√2,667 = 1,633

Competidor B
√ 0,667 = 0,817

Competidor C
√2 = 1,414

Podemos notar que o competidor B possui uma melhor regularidade nas notas.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Exercício 1 

Conhecem-se as seguintes idades (em anos) de todos os 6 gorilas do zoo da cidade:

9,1,16,11,10,14

Qual é a média de idades dos gorilas do zoo? Qual é a variância?

Resolução

Porque temos os dados das idades de todos os 6 gorilas do zoo, somos capazes de calcular a
média da população (μ)e a variância da população (σ2).

Para encontrar a média da população, somam-se todas as 6 idades e divide-se por 6.

μ=∑i=1NxiN=∑i=16xi6

μ=9+1+16+11+10+146=10.2 anos de idade

Encontrar os quadrados dos desvios de cada gorila

Idade xi	Desvio (xi−μ)	(xi−μ)2
9 anos	−1.2 anos	1.44 anos2
1 ano	−9.2 anos	84.64 anos2
16 anos	5.8 anos	33.64 anos2
11 anos	0.8 anos	0.64 anos2
10 anos	−0.2 anos	0.04 anos2
14 anos	3.8 anos	14.44 anos2

Porque usamos a média da população (μ)para calcular os quadrados do desvios, podemos encontrar avariância (σ2), sem introduzir qualquer enviesamento, simplesmente calculado a média dos quadrados dos desvios:

σ2=∑i=1N(xi−μ)2N

σ2=1.44+84.64+33.64+0.64+0.04+14.446

σ2=134.846=22.47 anos2

Cada gorila tem em média 10.2 anos, e a variância da população é de 22.47 anos2.