Ângulos entre retas

Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:

Onde m_s e m_r são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:

Exemplo 1. 

Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.

Para a reta r, temos:

x - y = 0
y = x

Portanto, m_r = 1.
Para a reta s, temos:

 Portanto, m_s = -3/4

Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:

Exemplo 2.

 Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.

Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas.

Para a reta r, temos:
y = 3x + 4
m_r = 3
Para a reta s, temos:
y = – 2x + 8
m_s = – 2

Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos: 

http://www.mundoeducacao.com/matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm



Exercícios:

Questão 01.Determine os valores de x e y nas figuras a seguir:

Resposta 

Os ângulos 15x – 45 e 12x – 15 são opostos pelo vértice, portanto são iguais.
15x – 45 = 12x – 15
15x – 12x = 45 – 15
3x = 30
x = 10º
Os ângulos 15x – 45º e y são suplementares, isto é, a soma entre eles resulta em 180º.
15x – 45 + y = 180
15 * 10 – 45 + y = 180
150 – 45 + y = 180
105 + y = 180
y = 180 – 105
y = 75º

 Questão 02.Calcule o valor de x na figura.

Resposta 

Os ângulos da figura são complementares, isto é, a soma entre eles é igual a 90º.
x + 40 + 3x + x – 10 = 90
5x + 30 = 90
5x = 90 – 30
5x = 60
x = 12

Questão 03.(FAM–SP) Dadas às retas r e s, paralelas entre si, e t, concorrente com r e s, calcule o valor de x:

a) 51º

b) 35º

c) 90º

d) 50º

e) 45º

Resposta 

Os ângulos são suplementares, isto é, a soma entre eles é igual a 180º.
2x + 30 + x = 180
3x = 180 – 30
3x = 150
x = 150/3
x = 50º
Resposta correta alternativa d.



vídeo: