Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.

O alinhamento de três pontos pode ser determinado aplicando o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3x3. Ao calcular o determinante da matriz construída utilizando as coordenadas dos pontos em questão e encontrando valor igual a zero, podemos afirmar que existe colinearidade dos três pontos.

Observe os pontos a seguir:

As coordenadas dos pontos A, B e C são: Ponto A (x1,y1) Ponto B (x2,y2) Ponto C (x3,y3) Através dessas coordenadas iremos montar a matriz 3x3, as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna; as ordenadas, a 2ª coluna e a terceira coluna será complementada com o número um.

Aplicando Sarrus temos:

Exemplo 1: Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.

Diagonal principal 2 * 7 * 1 = 14 5 * 1 * 5 = 25 1 * 3 * 11 = 33  
Diagonal secundária 1 * 7 * 5 = 35 2 * 1 * 11 = 22 5 * 3 * 1 = 15  
Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária (14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15) 72 – 72 = 0

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0. Exemplo 2 Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verifique se eles estão alinhados.

Diagonal principal: 2 * (–1) * 1 = –2 2 * 1 * (–3) = –6 1 * (–3) * 1 = –3
Diagonal secundárial:1 * (–1) * (–3) = 3 2 * 1 * 1 = 2 2 * (–3) * 1 = –6 (– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6) – 11 – (–1) – 11 + 1 = – 10
Pelo resultado do determinante da matriz verificamos que os pontos não estão alinhados.


Exercícios :

 Questão 01.
Verifique se os pontos A(0, 4), B(–6, 2) e C(8, 10) estão alinhados

Resposta 

Diagonal principal
0 * 2 * 1 = 0
4 * 1 * 8 = 32
1 * (–6) * 10 = –60
32 + (– 60)
32 – 60
–28
Diagonal secundária
4 * (–6) * 1 = –24
0 * 1 * 10 = 0
1 * 2 * 8 = 16
–24 + 16
–8

Determinante
–28 – (–8)
–28 + 8
– 20
Temos que o determinante é diferente de zero. Dessa forma, os pontos não estão alinhados.

  Questão 02.

Determine o valor de y de maneira que os pontos P(1, 3), Q(3, 4) e R(y, 2) sejam os vértices de um triângulo qualquer.

Resposta 

Para que os pontos P, Q e R sejam os vértices de um triângulo qualquer, eles não podem estar alinhados. Dessa forma, o valor do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos dados deverá ser diferente de zero.

Diagonal principal
1 * 4 * 1 = 4
3 * 1 * y = 3y
1 * 3 * 2 = 6

Diagonal secundária
1 * 4 * y = 4y
1 * 1 * 2 = 2
3 * 3 * 1 = 9
4 + 3y + 6 – (4y + 2 + 9) ≠ 0
4 + 3y + 6 – 4y – 2 – 9 ≠ 0
3y – 4y + 4 + 6 – 2 – 9 ≠ 0
–y + 10 – 11 ≠ 0
–y ≠ 11 – 10
–y ≠ 1
y ≠ –1

Temos que valor de y que torna o problema verdadeiro corresponde a –1.

vídeo: